यदि ${\left( {2 + \frac{x}{3}} \right)^{55}}$ का $x$ की बढ़ती घातों में विस्तार किया जाता है और विस्तार के दो क्रमागत पदों में $x$ की घातों के गुणांक समान हैं,तो ये पद हैं

यदि ${\left( {\frac{3}{{{{\left( {84} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} + \sqrt 3 \ln x} \right)^9}$ के द्विपद विस्तार में प्रारंभ से $7^{th}$ पद $x > 0$ के लिए $729$ के बराबर है,तो $x$ का संभावित मान है:

$n \in N$ के उन सभी संभावित मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(1+x^2)^2(1+x)^n$ के विस्तार में $x$, $x^2$ और $x^3$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं:

मान लीजिए कि $K$,$(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग है। मान लीजिए $a$,$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद है। यदि $\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{2^{\ell} m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ विषम संख्याएँ हैं,तो क्रमित युग्म $(\ell, n)$ बराबर है:

$(a+x)^n$ के विस्तार में $15$ पद हैं। जब $x=1$ है,तो इस विस्तार में मध्य पद के पड़ोसी पदों का अनुपात $16$ है। तो '$a$' का धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} 2^n x^n$ है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।